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学ぶ・教える.COM > 中学受験 > 算数 > 場合の数と確率 > 練習問題26 > 解答
 講座・問題集
 
(解答)
 
(1) 4人を3つの班に分けるということは、2人+1人+1人に分けるということ。
  4人のうちから2人を選ぶ組み合わせは、
  (4×3)÷(2×1)=6通り
(答え) 6通り
 
(2) 4人を2つの班に分けるのは、3人+1人に分ける場合と2人+2人に分ける場合がある。
  ・3人+1人に分ける場合
  4人から1人を選ぶ組み合わせと同じで、4通り。
  ・2人+2人に分ける場合
  4人から2人を選ぶことと4人から2人を選ばないことが重複するので、
  (4×2)÷(2×1)÷2=3通り
  よって、求める答えは、
  4通り+3通り=7通り
 
(答え) 7通り
   
(注) ・4人を2人+2人に分ける
  [(A,B)(C,D)] [(A,C)(B,D)] [(A,D)(B,C)] の3通り
  ・4人から2人を選ぶは、
  (A,B) (A,C) (A,D) (B,C) (B,D) (C,D) の6通り
  つまり、4人を2人+2人に分けるということは、選ばれた(A,B)と選ばれなかった(C,D)、選ばれた(A,C)と選ばれなかった(B,D)、選ばれた(A,D)と選ばれなかった(B,C)は同じ組み合わせであることを意味するので、重複分の2で割る。
   
(参考) 班(組・グループ)分けの問題は、何人かの中から何人かを選ぶ問題より難しいので注意しましょう。
  ちなみに、n個のものをk組に分ける方法の総数をスターリング数(第2種)といい、以下の方法で求めることができます。
   
  {n,k}={n-1,k-1}+k{n-1,k}
   
  練習問題26をこの方法で求めると、
  ・4人を3班に分ける
  {4,3}={4-1,3-1}+3×{4-1,3}={3,2}+3×{3,3}=3+3×1=6 (通り)
  ・4人を2班に分ける
  {4,2}={4-1,2-1}+2×{4-1,2}={3,1}+2×{3,2}=1+2×3=7 (通り)
   
  また、n個のものをいくつかのグループに分ける全ての方法の総数をベル数といい、第2種スターリング数のkが1からnまでの総和です。
   
  ・4人をいくつかの班に分けたときに何通りの方法があるか
  1班 … 1通り
  2班 … 7通り  [(2)の答え]
  3班 … 6通り  [(1)の答え]
  4班 … 1通り
  合計 1+7+6+1=15通り
 
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