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 講座・問題集
 
(解答)
 
ABCDCBA×3+1=EFGHHGFEということは、ABCDCBAは7けた、EFGHHGFEは8けたであり、×3の計算には繰り上がりがある。
よって、E=1または2
 
(a) E=1の場合
EFGHHGFE=1FGHHGF1
ABCDCBA×3+1=1FGHHGF1であるから、A×3+1=□1
よって、A=0となり不適
(b) E=2の場合
EFGHHGFE=2FGHHGF2
ABCDCBA×3+1=2FGHHGF2であるから、A×3+1=□2
よって、A=7
したがって、ABCDCBA=7BCDCB7,EFGHHGFE=2FGHHGF2
 
7BCDCB7×3+1=2FGHHGF2
よって、
@ 7BCDCB7の十の位がB、2FGHHGF2の十の位がFであるから、Fは、B×3+2の一の位の数字
A 7BCDCB7の十万の位がB、2FGHHGF2の百万の位がFであるから、Fは、3×7=21の一の位の1にB×3又はB×3+αの繰り上がり(0,1,2)をたした数
よって、F=1,2,3のいずれか
 
(ア) F=1の場合
7BCDCB7×3+1=21GHHG12
十の位について、B×3+2=□1となるから、B=3
73CDC37×3+1=21GHHG12
百の位について、G=C×3+1
十万の位について、3×3=9であり、一万の位からの繰り上がりがあれば、十万の位から百万の位に繰り上がるため、百万の位の数字は1ではなくなる。
十万の位が9であるとき、百の位のC×3+1と矛盾するから、不適
(イ) F=2の場合
7BCDCB7×3+1=22GHHG22
十の位について、B×3+2=□2であるから、B=0
70CDC07×3+1=22GHHG22
十万の位について、0×3=0であって、一万の位からの繰り上がりが1,2のいずれであっても百万の位(F)は、2にはならないから不適
(ウ) F=3の場合
7BCDCB7×3+1=23GHHG32
十の位について、B×3+2=3であるから、B=7
よって、ABCDCBA=77CDC77,EFGHHGFE=23GHHG32
 
77CDC77×3+1=23GHHG32
百の位について、Gは、C×3+2の一の位
十万の位について、Gは、3×7=21の一の位である1と一万の位からの繰り上がりの和であるから、G=1,2,3のいずれか
 
(@) G=1の場合
百の位について、C×3+2=□1であるから、C=3
773D377×3+1=231HH132
十万の位について、7×3=21であって、G=1であるということは、一万の位からの繰り上がりはない
よって、一万の位について、3×3=9
∴H=9
一方、377×3+1=1132であり、千の位についてH=D×3+1
これらは、矛盾するから不適
(A) G=2の場合
百の位について、C×3+2=□2であるから、C=0
770D077×3+1=232HH232
一万の位から十万の位への繰り上がりはないから、十万の位の数字(G)は7×3=21の一の位の数字である1となる。
これはG=2と矛盾するから不適
(B) G=3の場合
百の位について、C×3+2=□3であるから、C=7
777D777×3+1=233HH332
D=7のとき、7777777×3+1=23333332となり、題意に適する
(答え) 7777777
 
(解説)
 
逆から数字を並べても同じ数になる回文数の問題です。
この問題は、場合分けして、丁寧に解かなければなりません。
もっとも、A=7,B=7と7が連続したところで、C=7,D=7ではないかと推理することも重要です。
ちなみに、7が連続する数×3+1は、回文数です。
3が連続する数×7+1も同様の回文数です。
では、なぜ7が連続する方を問題にしたのでしょうか。
それは、A×7によって、桁数が増える場合、Eの候補が1〜6と多過ぎるからです。
問題を作る際には、使える数と使えない数があります。
自分で問題を作ると、使いやすい数が見えてくるので、友人同士で問題を出し合うのもよいでしょう。
 
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