| （解答） |
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| ABCDCBA×3+1=EFGHHGFEということは、ABCDCBAは7けた、EFGHHGFEは8けたであり、×3の計算には繰り上がりがある。 |
| よって、E=1または2 |
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| （a） E=1の場合 |
| EFGHHGFE=1FGHHGF1 |
| ABCDCBA×3+1=1FGHHGF1であるから、A×3+1=□1 |
| よって、A=0となり不適 |
| （b） E=2の場合 |
| EFGHHGFE=2FGHHGF2 |
| ABCDCBA×3+1=2FGHHGF2であるから、A×3+1=□2 |
| よって、A=7 |
| したがって、ABCDCBA=7BCDCB7，EFGHHGFE=2FGHHGF2 |
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| 7BCDCB7×3+1=2FGHHGF2 |
| よって、 |
| ① 7BCDCB7の十の位がB、2FGHHGF2の十の位がFであるから、Fは、B×3+2の一の位の数字 |
| ② 7BCDCB7の十万の位がB、2FGHHGF2の百万の位がFであるから、Fは、3×7=21の一の位の1にB×3又はB×3+αの繰り上がり（0，1，2）をたした数 |
| よって、F=1，2，3のいずれか |
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| （ア） F=1の場合 |
| 7BCDCB7×3+1=21GHHG12 |
| 十の位について、B×3+2=□1となるから、B=3 |
| 73CDC37×3+1=21GHHG12 |
| 百の位について、G=C×3+1 |
| 十万の位について、3×3=9であり、一万の位からの繰り上がりがあれば、十万の位から百万の位に繰り上がるため、百万の位の数字は1ではなくなる。 |
| 十万の位が9であるとき、百の位のC×3+1と矛盾するから、不適 |
| （イ） F=2の場合 |
| 7BCDCB7×3+1=22GHHG22 |
| 十の位について、B×3+2=□2であるから、B=0 |
| 70CDC07×3+1=22GHHG22 |
| 十万の位について、0×3=0であって、一万の位からの繰り上がりが1，2のいずれであっても百万の位（F）は、2にはならないから不適 |
| （ウ） F=3の場合 |
| 7BCDCB7×3+1=23GHHG32 |
| 十の位について、B×3+2=3であるから、B=7 |
| よって、ABCDCBA=77CDC77，EFGHHGFE=23GHHG32 |
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| 77CDC77×3+1=23GHHG32 |
| 百の位について、Gは、C×3+2の一の位 |
| 十万の位について、Gは、3×7=21の一の位である1と一万の位からの繰り上がりの和であるから、G=1，2，3のいずれか |
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| （ⅰ） G=1の場合 |
| 百の位について、C×3+2=□1であるから、C=3 |
| 773D377×3+1=231HH132 |
| 十万の位について、7×3=21であって、G=1であるということは、一万の位からの繰り上がりはない |
| よって、一万の位について、3×3=9 |
| ∴H=9 |
| 一方、377×3+1=1132であり、千の位についてH=D×3+1 |
| これらは、矛盾するから不適 |
| （ⅱ） G＝2の場合 |
| 百の位について、C×3+2=□2であるから、C=0 |
| 770D077×3+1=232HH232 |
| 一万の位から十万の位への繰り上がりはないから、十万の位の数字（G）は7×3=21の一の位の数字である1となる。 |
| これはG=2と矛盾するから不適 |
| （ⅲ） G=3の場合 |
| 百の位について、C×3+2=□3であるから、C=7 |
| 777D777×3+1=233HH332 |
| D=7のとき、7777777×3+1=23333332となり、題意に適する |
（答え） 7777777 |
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| （解説） |
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| 逆から数字を並べても同じ数になる回文数の問題です。 |
| この問題は、場合分けして、丁寧に解かなければなりません。 |
| もっとも、A=7，B=7と7が連続したところで、C=7，D=7ではないかと推理することも重要です。 |
| ちなみに、7が連続する数×3+1は、回文数です。 |
| 3が連続する数×7+1も同様の回文数です。 |
| では、なぜ7が連続する方を問題にしたのでしょうか。 |
| それは、A×7によって、桁数が増える場合、Eの候補が1～6と多過ぎるからです。 |
| 問題を作る際には、使える数と使えない数があります。 |
| 自分で問題を作ると、使いやすい数が見えてくるので、友人同士で問題を出し合うのもよいでしょう。 |
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